روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته کارایی مناسب خود را برای حل معادلات دیفرانسیلی مشتقات جزیی حاکم بر مسائل مهندسی نشان داده است. این روش بر پایه کمینه کردن تابعک حداقل مربعاتی استوار است. تابعک حداقل مربعاتی به صورت مجموع وزن داری از باقیمانده ی معادله دیفرانسیلی و شرایط مرزی حاکم تعریف شده است. معمولا از تابع تخمین حداقل مربعات متحرک (MLS)، برای ساختن توابع شکل در روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته استفاده می شود. هرچند با استفاده از این نوع تابع تخمین سازگاری مورد نیاز توابع تخمین ارضا می شود، اما روش در صورت تجمع و نزدیکی بیش از اندازه گره ها کارآیی مناسب خود را از دست می دهد. در این مطالعه مشکل مطرح شده، با استفاده از تابع تخمین نوینی که حداقل مربعات متحرک نگاشتی (MMLS) نامیده شده است، برطرف شده است. در این روش خوشه های گرهی مجتمع به یک آرایش گرهی استاندارد نگاشت می یابند؛ سپس تابع تخمین و مشتقات آن با در نظر گرفتن ملاحظاتی محاسبه می شوند. کارایی روش تخمین پیشنهادی MMLS برای برطرف کردن مشکل تابع تخمین MLS با تخمین توابع ریاضیاتی مورد ارزیابی قرار گرفته است. نتایج بدست آمده قابلیت روش پیشنهادی MMLS را جهت رفع مشکل نشان داده اند. تابع تخمین پیشنهادی در روش بدون حداقل مربعات گسسته مختلط استفاده شده و برای حل معادلات غیر خطی برگرز به کار گرفته شده است. نتایج بدست آمده کارایی و دقت بالای روش پیشنهادی را نشان می دهند.

انواع مختلفی از روش های بدون شبکه در سالهای اخیر برای حل معادلات دیفرانسیل معرفی شده است که هر کدام داری مزایا و معایب مخصوص به خود می باشند. گسسته سازی مساله در بسیاری از روش های بدون شبکه به معادلات انتگرالی منجر می شود که حل آنها نیازمند انتگرالگیری عددی و معرفی نقاط گوس و وزنهای مربوطه همراه با شبکه بندی است. در این مقاله به روش های مختلف حداقل مربعات پرداخته و روش حداقل مربعات گسسته در حل معادلات دیفرانسیل به منظور دستیابی به معادلات ماتریسی و همچنین از حداقل مربعات وزنی داده ها با توابع وزنی اسپلاین مرتبه سه برای دستیابی به مقادیر توابع شکل استفاده شده است. اگرچه فرمولبندی حداقل مربعات گسسته در نهایت منجر به حجم عملیات بیشتری نسبت به سایر روش های می شود اما مهمترین مزایای این روش را می توان در حذف مراحل انتگرال گیری از روال محاسبه ماتریسهای ضرایب و همچنین پشتوانه بدون شبکه بودن آن در مفهوم واقعی دانست. صحت یابی فرمولبندی با حل مثال های یک بعدی از معادله برگر و معادله دیفرانسیل جابجایی پخش خطی و غیرخطی در حالت دایمی و زمان وابسته بررسی شده است.

لطفا برای مشاهده چکیده به متن کامل (PDF) مراجعه فرمایید.

یکی از پدیده هایی که در شبکه لوله ها باعث ایجاد خسارت و کاهش عمرمفید تاسیسات آبی می شود، پدیده ضربه قوچ یا چکش آبی است. روش های عددی مختلفی در تحلیل این مساله به کار گرفته شده است. در تمامی روشهای عددی ارائه شده، محیط پیوستار مساله بایستی توسط ابزاری گسسته سازی شود تا مجهولات مساله که همان مقادیر سرعت و فشار ناشی از قطع ناگهانی جریان و حرکت موج فشاری در طول لوله می باشند، پس از طی فرایند حل، محاسبه گردند. با محاسبه دقیق این مجهولات، پیش از طراحی سازه ها می توان تمهیدات مناسبی در کاهش تنش های ناشی از رخداد ضربه قوچ، اتخاذ نمود. سابقه و هدف روش مرسوم برای مدلسازی معادلات دیفرانسیلی که این پدیده را تشریح می کنند، روش خطوط مشخصه است. به طور کل، در روش های معمول به خوبی توسعه یافته ی اجزای محدود، احجام محدود و تفاضل های محدود، گسسته سازی حوزه ی مکانی مساله با استفاده از ابزاری به نام شبکه بندی صورت می گیرد. با وجود استفاده مفید از این روش ها در بسیاری از زمینه های علمی، شبکه بندی، فرایندی پرهزینه و دردسرساز، به ویژه در مسائلی با مرزهای پیچیده است. همین امر انگیزه ی اصلی ابداع روش های بدون شبکه بوده است. در این گونه روش ها حوزه ی مکانی مساله توسط تعدادی نقطه به سادگی گسسته سازی می شود. مواد و روش ها در پژوهش حاضر، جهت مدلسازی ضربه قوچ کلاسیک در سیستمی شامل شیر، لوله و مخزن، از روش عددی بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش استفاده می شود. در رهیافت ارائه شده، از روش ضمنی کرنک نیکلسون برای گسسته سازی زمانی استفاده شده تا بتوان شرط کوچکتر بودن گام زمانی را برای پایداری حل از بین برد. در این روش، معادلات پیوستگی و مومنتوم جهت محاسبه مقادیر سرعت و فشار در صفحه x-t با استفاده از داده های گام زمانی قبلی، به طور همزمان محاسبه می شود. رهیافت ارائه شده کاملا ماتریسی بوده و فرایند حل، شامل چند عملیات جبری ساده می باشد که بر روی ماتریس های تنک صورت می گیرد. یافته ها در مقاله حاضر، ابتدا معادلات حاکم بر ضربه قوچ نوشته شده و سپس، کلیات روش عددی بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش به طور کامل، تشریح شده است. در ادامه، چندین آزمایش معتبر در مورد ضربه قوچ با روش فوق، مدلسازی شده و در انتها نیز یک مساله با به کارگیری روش کرنک-نیکلسون در حالات مختلف، تحلیل گردیده است. نتایج حاصل از مدلسازی مسائل با نتایج سایر روشهای عددی معتبر نظیر روش MOCو روش عددی به کار رفته توسط "زیلک" در نقاط بحرانی لوله نظیر پشت شیر و وسط لوله مورد برازش قرار گرفته است. همچنین، تحلیل هیدرولیکی مسائل و نحوه محاسبه جوابهای دقیق، به طور کامل، تشریح گردیده است. در نهایت، پس از به-کارگیری معیار مجموع مربعات خطا و تخمین خطایی کمتر از 5 درصد در کل بازه مورد بررسی، مشخص گردید که از این روش، می توان به عنوان یکی از روش های عددی دقیق، ساده و کم هزینه در مدلسازی مسایل ضربه قوچ استفاده نمود. نتیجه گیری عدم نیاز به انتگرالگیری، عملیات ریاضی کاملا ماتریسی و نیز بدون شبکه بودن فضای مساله از ویژگی های مهم روش عددی بدون شبکه است که علاوه بر کاهش منابع خطا می تواند یکی از دقیق ترین روش های حل عددی پدیده ضربه قوچ در سیستم لوله ها به شمار آید.

روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته همپوش برای حل معادلات سنت ونانت و محاسبه تنش های برشی حاصل از پیچش در مقاطعی با مرزهای پیچیده، فرمول بندی شده است. در این مقاله، شکلی کاملا ماتریسی در گسسته سازی معادلات حاکم ارائه شده است که فرآیند را ساده از نظر کدنویسی و کارا از لحاظ محاسباتی خواهد کرد. در فرآیند به کار گرفته شده، از تعداد محدودی نقاط همسایگی برای تولید توابع شکل پایه شعاعی استفاده شده است که سبب تنک شدن ماتریس ها شده، شرایط را برای جبر ماتریسی تنک و استفاده از زیر برنامه های آمده در این مورد فراهم می سازد. به منظور صحت سنجی روش ارائه شده در تحلیل تنش های ناشی از پیچش، در ابتدا مقطعی بیضی شکل، مورد بررسی قرار گرفته است که برای آن حل تحلیلی موجود است. در مساله دوم، مقطعی جدار نازک با استفاده از تئوری پیچش سنت-ونانت حل و نتایج با جواب بسته به دست آمده از تئوری پیچش مقاطع جدار نازک مقایسه شده است. در مساله سوم، پیچش مقطعی بیضوی توخالی حل شده است. در نهایت مساله تنش های حاصل از پیچش در مقاطعی با مرزهای پیچیده تر مورد بررسی قرار گرفته است.

چکیدهیکی از روش های بدون شبکه، روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته (DLSM) می باشد. در این روش از نقاط گرهی برای تخمین توابع شکل و گسسته سازی معادلات استفاده می شود. با افزودن نقاطی تحت عنوان نقاط هم مکان،روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته هم-مکان (CDLSM) شکل می گیرد که در گسسته سازی معادلات استفاده می شوند. در این تحقیق برای تخمین توابع شکل از روش درونیاب شعاعی نقاط (RPIM) برای حل معادلات دو بعدی حاکم بر سیالات غیر نیوتنی استفاده شده است. برای شبیه سازی رفتار سیال غیرنیوتنی از مدل هرشل بالکلی کمک گرفته شده است. برای صحت سنجی نتایج از سه مثال عددی جریان بین دو صفحه موازی، جریان در حفره مربعی و نیم دایره ای با عدد رینولدز 100 استفاده شده است. در نتایج ارائه شده، معیار (MSE) میانگین مربعات خطا بررسی شده که بطور میانگین برای سه مسئله مذکور به ترتیب برابر 5-10×1/7، 6-10×3/1 و 6-10×6/1 حاصل شده است. زمان محاسباتی مسئله جریان در حفره مربعی 1000 ثانیه بوده است. همچنین حل مسئله جریان در حفره نیم دایره ای برای هر تکرار 65/0 ثانیه زمان برده است.

مدل سازی عددی ترک در مهندسی، یکی از دغدغه های اساسی برای پژوهشگران این رشته است. اگرچه اجزاء محدود، قابلیت های مناسبی برای مدل سازی ترک دارد، اما به کارگیری توابع شکل و اجزاء خاص محدودیت هایی را در حل مسائل ناپیوسته ایجاد می کند. یکی از اهداف به کارگیری روش های عددی بدون شبکه و از جمله روش کمینه مربعات غلبه بر مشکل مذکور است. در این پژوهش، روش بدون شبکه کمینه مربعات گسسته جهت پیش بینی بازشدگی نوک ترک توسعه داده شده است، که بر مبنای آن، تئوری ترک چسبنده برای بررسی رفتار ترک و روش معیار مشاهده یی برای مدل سازی فیزیکی آن استفاده شده است. تئوری ترک چسبنده، ساده ترین روش برای ایجاد ناپیوستگی در تقریب های بدون شبکه است و سازگاری مناسبی با نحوه گسسته سازی حوزه فیزیکی دارد. مدل عددی و مدل ترک در محیط ویژوال فرترن برنامه نویسی شده و در نهایت، کارایی و دقت بالای روش کمینه مربعات گسسته با حل مسائل استاندارد و مقایسه نتایج حاصل از حل عددی با نتایج آزمایشگاهی و نتایج روش اجزاء محدود نشان داده شده است.

روشهای بدون شبکه طی دهه های اخیر به مجموعه روشهای عددی اضافه شده، و بستر مناسب و وسیعی را در زمینه های علمی، تحقیقاتی و مهندسی فراهم آورده اند. استفاده از روشهای بدون شبکه هنوز به گستردگی روشهای اجزاء محدود در مسائل مهندسی نمی باشد ولی چه بسا فعلاً این روشها شرایطی را مشابه با زمانی که روش اجزاء محدود شروع به گسترش نمود سپری می نمایند. در این تحقیق، روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته شده با نقاط همگام که اصطلاحاً (CDLSM) نام گرفته است، پیشنهاد گردیده و مفاهیم، روابط ریاضی و تنظیم مربوط به این روش به طور کامل ارائه گردیده اند. در این شبیه سازی نقاط همگام جهت کارائی بیشتر و زمان محاسبات پائین تر با استفاده از روش حداقل مربعات، و نیز استفاده از گروه به جای انتگرال (حالت گسسته) به کار برده شده است. بر اساس روش مذکور پدیده شکست آنی سد در حالات مختلف حل و جهت صحت سنجی آن نیز با مقایسه حل حاصل با حل تحلیلی مسائل آزمایشی معیار، و نیز داده های آزمایشگاهی موجود استفاده گردیده است. مقایسه بین نتایج عددی با داده های تحلیلی و آزمایشگاهی موجود، نشان می دهد که روش مزبور علاوه بر کارائی بالا، مباحث مربوط به تکانه یا ناپیوستگی را به خوبی شبیه سازی می نماید.

گسسته سازی مساله در بسیاری از روش های بدون شبکه به معادلات انتگرالی منجر می شود، که حل آن ها نیازمند انتگرال گیری عددی و معرفی نقاط گوس و وزن های مربوط همراه با شبکه بندی است. اما در میان این روش ها، روش بدون شبکه کمینه مربعات گسسته می تواند مراحل انتگرال گیری برای محاسبه ماتریس ضرایب را حذف کند و در عین سادگی، دقت بالا، و هزینه محاسباتی پایین، در مفهوم واقعی بدون شبکه باشد. هدف از این پژوهش، برآورد خطای حل عددی روش بدون شبکه کمینه مربعات گسسته برای مسائل انتقال حرارت هدایتی است. بدین منظور، 2 مثال عددی دو بعدی توسط این روش حل شده اند و پس از آن با استفاده از مفهوم کمینه مربعات باقیمانده، برآورد خطا، توزیع، و محل آن بررسی شده است. نتایج حاصل، گواه بر قابلیت بالای خطایابی درونی این روش بدون شبکه در حل شاخه دیگری از علوم مهندسی (انتقال حرارت هدایتی) است.